Математика) Опции

[Дианка]

свой ответ по теории игр переношу сюда, чтоб не засорять тему "Новости")

Тео́рия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Теория игр — это раздел прикладной математики, точнее — исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

т.е. "игра" не в классическом понимании этого слова, а как бы ситуация/задача. нужно найти оптимальное решение, основываясь на том, что "игроки" тоже могут вести себя по-разному (как посчитают нужным, учитывая свои ресурсы и исходные данные). оптимальное решение - это максимальная вероятность того, что событие произойдет

отвечу сразу на вопрос Эстер:

А почему "некорпоративных игр"?

не "некорпоративная", а некооперативная теория)
в некооперативных играх все игроки действуют «каждый сам за себя», а в кооперативных - подразумевается возможность игроков кооперироваться, чтобы увеличить свои шансы на выигрыш.
Джон Нэш занимался именно некооперативной теорией игр. это как бы подраздел общей теории игр (а самих подразделов много)


вот мне еще нравится это введение к теме теории игр в одной из книг по математике. представляю в очень сжатом виде, без подробностей и формул:

Классическими задачами системного анализа являются игровые задачи принятия решений в условиях риска и неопределенности.

Неопределенными могут быть как цели операции, условия выполнения операции, так и сознательные действия противников или других лиц, от которых зависит успех операции.




Разработаны специальные математические методы, предназначенные для обоснования решений в условиях риска и неопределенности. В некоторых, наиболее простых случаях эти методы дают возможность фактически найти и выбрать оптимальное решение. В более сложных случаях эти методы доставляют вспомогательный материал, позволяющий глубже разобраться в сложной ситуации и оценить каждое из возможных решений с различных точек зрения, и принять решений с учетом его возможных последствий. Одним из важных условий принятия решений в этом случае является минимизация риска.




При решении ряда практических задач исследования операций (в области экологии, обеспечения безопасности жизнедеятельности и т. д.) приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются две (или более) враждующие стороны, преследующие различные цели, причем результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник. Такие ситуации мы можно отнести к конфликтным ситуациям.




Теория игр является математической теорией конфликтных ситуаций, при помощи которой можно выработать рекомендации по рациональному образу действий участников конфликта. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации без учета второстепенных факторов, строят упрощенную, схематизированную модель ситуации, которая называется игрой. игра ведется по вполне определенным правилам, под которыми понимается система условий, регламентирующая возможные варианты действий игроков; объем информации каждой стороны о поведении другой; результат игры, к которому приводит каждая данная совокупность ходов.




Результат игры (выигрыш или проигрыш) вообще не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, хотя бы условно, выразить его числовым значением.




Ход — выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либомеханизмом случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды и т. п.). Для каждого случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных исходов. Игра может состоять только их личных или только из случайных ходов, или из их комбинации. Следующим основным понятием теории игр является понятие стратегии. Стратегия — это априори принятая игроком система решений (вида «если — то»), которых он придерживается во время ведения игры, которая может быть представлена в виде алгоритма и выполняться автоматически.




Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е. определение «оптимальной стратегии» для каждого из них. Стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим. Сознавая эти ограничения и поэтому не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки, если не в точности оптимальной, то, во всяком случае «приемлемой» стратегии.

сейчас набросаю самые-самые классические и простые задачи (в очень сокращенном виде)) ). если будут вопросы - задавайте

1. дилемма заключенного

два человека были арестованы за ограбление банка, не сумев правильно использовать для побега угнанный автомобиль. полиция не может доказать, что именно они ограбили банк, но поймала их с поличным в украденном автомобиле. их развели по разным комнатам и каждому предложили сделку: сдать сообщника и отправить его за решетку на 10 лет, а самому выйти на свободу. но если они оба сдадут друг друга, то каждый получит по 7 лет. если же никто ничего не скажет, то оба сядут на 2 года только за угон автомобиля. что делать каждому из них?

пока выбрасываю формулы-расчеты (если будет интересно - потом подробнее опишу).

ответ: вне зависимости от выбора первого заключенного, второму в любом случае выгоднее признаться

жизненный)) пример к этой задаче:
две фирмы производят один и тот же продукт (других фирм этого продукта на рынке нет). если рекламы вообще не будет - у них будет одно распределение доходов. если они обе будут активно рекламироваться, то реклама "взаимно сократиться" и относительное потребление их продуктов не изменится, но деньги на рекламу будут потрачены. но если одна фирма будет рекламироваться, а вторая не будет, то та что будет, получит большую прибыль от резко увеличившейся доли рынка

2. трагедия общин
эта задача возникает когда у нескольких игроков имеется общий ресурс. выгоды от его использования индивидуальны, а затраты на использование общие, поэтому все пытаются максимизировать свое собственное использование ресурса и он истощается.

классическая постановка: на пастбище пасут овец несколько овцеводов. пастбище общее и бесплатное, а каждая дополнительная овца приносит овцеводу прибыль. поэтому все начинают разводить все больше и больше овец и пастбище окончательно вытаптывается. однако при этом каждый овцевод полностью рационален, потому что для него лично каждая дополнительная овца значит больше, чем дополнительный ущерб пастбищу от одной овцы.
такие задачи возникают все время, где есть общие ресурсы - в загрязнении окружающей среды, в вырубке лесов, использовании воды и воздуха, охоте, рыболовстве...
решение заключается только в том, чтобы построить единый механизм, при котором общий ресурс не истощится (напр, налогообложение и т.п.)

3. равновесие Нэша

равновесие Нэша - это набор ходов, где никто не хочет сделать что-то по-другому после свершившегося факта. и если мы сможем заставить это работать, теория игр заменит всю философскую, религиозную, и финансовую систему на планете, потому что «желание не прогореть» стало для человечества более мощной движущей силой, чем огонь.




давайте быстро поделим 100$. вы и я решаем, сколько из сотни мы требуем и одновременно озвучиваем суммы. если наша общая сумма меньше ста, каждый получает то, что хотел. если общее количество больше ста, тот, кто попросил наименьшее количество, получает желаемую сумму, а более жадный человек получает то, что осталось. если мы просим одинаковую сумму, каждый получает 50 $. сколько вы попросите? как вы разделите деньги?


существует единственный выигрышный ход - требование 51 $ даст вам максимальную сумму независимо от того, что выберет ваш противник. если он попросит больше, вы получите 51 $. если он попросит 50 $ или 51 $, вы получите 50 $. и если он попросит меньше 50 $, вы получите 51 $. в любом случае нет никакого другого варианта, который принесет вам больше денег, чем этот. равновесие Нэша — ситуация, в которой мы оба выбираем 51 $.



4. парадокс Браесса
рассмотрим две точки Старт и Финиш, между которыми есть два пути, проходящие через точки А и В. если машина едет по незаполненной трассе, то она едет со скоростью 100км/ч. если трасса заполнена, то ее скорость падает до пропускная способность / (деленная на) количество автомобилей. водители все знают и выбирают наиболее оптимальный для себя маршрут.
понятно, что в этой симметричной ситуации водители будут выбирать менее загруженную трассу (когда они заполнятся).
проехать должны 2500 машин. из них тогда 1250 проедут по одной дороге, а 1250 - по другой. все счастливы, путь каждого водителя занимает
*опускаю для вас расчеты*
75 мин
и вдруг государство решило, что надо бы людям помочь и построило более короткую дорогу между А и В. эта дорога 60 км в отличии от других по 100км. старые дороги никто не закрывает, у водителей просто появился новый выбор.
если рассмотреть старое равновесие 1250 на 1250, то при появлении новой дороги по ней будет ехать выгодней. новое равновесие (когда все пути одинаковы) *снова опускаю расчеты* достигается, когда из 2500 машин 1500 едут по новой дороге, а по старым по 500. при этом время в пути окажется равным ... 84мин !!!

оказывается, что просто расширив спектр возможностей водителей, мы перевели систему из более эффективного в менее эффективное равновесие. при этом каждый водитель действовал рационально - выбирал где быстрее.

что делать? новая дорога могла бы пойти на пользу только в том случае, когда в пункте Старт и А находились бы регулировщики и управляли потоком машин.
это называется price of anarchy - иногда регулируемый рынок действительно функционирует эффективнее, чем управляемый лишь невидимой рукой. были и настоящие примеры этого парадокса в сетях городских дорог

вот еще некоторые задачи: http://www.rusrep.ru/article/2013/07/17/igry/

на самом деле теория игр настолько разнообразна, что я даже теряюсь о чем вам писать - всего не охватишь)



*что-то я с пустыми строками перестаралась - хотела, чтоб было более читабельно...*